정규 분포, t 분포, 중심 극한 정리

정규 분포 (Normal Distribution)

정규 분포는 가장 대표적인 연속 확률 분포로, 종 모양의 대칭 곡선을 가진다.

키 평균, 몸무게 평균 등의 자연적인 현상 대부분은 정규 분포를 따른다.

정규 분포의  PDF는 표본 평균 \(\mu\)과 표본 분산 \(\sigma^2\)을 통해 정의 된다.

\begin{align*}
N( \mu ,\sigma^2) &= \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi}}e^{-{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}
\end{align*}

표준 정규 분포 (Z분포)

정규 분포의 PDF가 매우 복잡하기 때문에 보통 평균과 표준편차를 0과 1로 표준화 한 표준 정규 분포를 사용하게 된다.

이 때 확률 변수 X를 표준화 한 확률 변수 Z는 다음과 같이 정의 된다.

 \(Z = (X - \mu)  \div \sigma\)

 

표준 정규 분포의 PDF는 다음과 같다.

\begin{align*}
f(z) &= \frac{1}{2\pi}e^{-{\frac{z^2}{2}}}, - \infty  < z < \infty
\end{align*}

 

이도 복잡하기 때문에, 이미 값이 계산 되어 있는 표준 정규분포표에서 값을 참조하는 방식으로 편하게 사용할 수 있다. (위키)

t 분포

이러한 정규 분포는 표본이 충분히 커야 사용 가능하다.

만약 표본이 충분히 크지 않을 경우, 정규 분포에 비해 불확실성이 높다.

(즉 모집단의 표준편차를 알 경우, 즉 모집단의 불확실성을 제어할 수 있다면, 표본평균과 모분산을 매개로 정규 분포 사용 가능하다.)

그러나 모표준편차를 모른다면, 이러한 불확실성을 반영하기 위해서 t 분포를 사용해야 한다.

이러한 t 분포는 정규 분포에 비해 꼬리가 더 두껍다.

t 분포의 인자는 자유도를 기반으로 결정 된다.

여기서 자유도란 (표본 크기 - 매개변수 수)로, 보통 n - 1로 계산 된다.

- 1을 하는 이유는 하기 느낌으로 이해하면 쉽다.

표본 평균과 n -1개의 표본이 있으면 마지막 표본의 값은 결정 되기에, 자유롭게 선택 가능한 표본의 갯수는 n - 1개이다

 

t 분포도 표가 있어서, 값을 참조하여 편하게 사용 가능하다. (위키)

중심 극한 정리

평균이 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)인 임의의 모집단으로부터, 크기 n인 표본의 표본평균은 n이 크면 근사적으로 평균이 \(\mu\), 분산이 \(\frac{\sigma^2}{n}\)인 정규분포를 따른다는 내용이다.

이 때 모집단의 분포 형태는 관련이 없고, 표본 크기만 크면 무조건 성립한다.

보통 n의 값은 30 정도를 분기로 잡게 된다.

 

이를 통해서 표본 분포를 사용하더라도, 크기가 30 이상일 경우 정규분포를 사용할 수 있게 된다.

또한 표본 통계를 기반으로 모집단 모수를 추정할 수 있는 수학적 근거를 제공하는, 중요한 내용이다.