결합 확률, 합 확률, 조건부 확률, 베이즈 정리

결합 확률, 합 확률

서로 독립적인 사건 A와 B가 있다고 생각하자

 

이 떄 A와 B가 둘 다 발생할 확률 P\( A \cap B \) (혹은 P(A AND B))는 P(A) * P(B)로 정의 된다.

이를 결합 확률(joint probability)이라 한다.

 

A 혹은 B가 발생할 확률은 P\( A \cup B \) (혹은 P(A OR B))는 P(A) + P(B) - P(A AND B)로 정의 된다.

이를 합 확률 (union probability)라 한다.

조건부 확률

B가 발생했을 때 A가 발생할 확률은 조건부 확률 (conditional probability) 이라 한다.
이는 P(A | B) 또는 P (A GIVEN B)로 나타낸다.

 

A와 B의 순서가 바뀌어도 무방한 결합 확률, 합 확률과 다르게, 조건부 확률은 순서가 중요하다.

커피를 마시는 사람이 암에 걸릴 확률과, 암에 걸린 사람이 커피를 마셨을 확률은 다르다.

베이즈 정리

그러면 P(A), P(B), P(B | A)를 알 때, P(B | A)는 어떻게 구할 수 있을까?

이 때 사용하는 것이 베이즈 정리이다.

\( P(A | B) = \frac {P(B | A)P(A)} {P(B)} \)

 

예시)

P(커피) = 0.65

P(암) = 0.005

P(커피 | 암) = 0.85

\( P(암 | 커피) = \frac{P(커피 | 암)P(암)}{P(커피)} = \frac{0.85 \times 0.005}{0.65} = 0.0065 \)

 

마지막으로 A, B가 서로 영향이 있을 경우의 결합 확률은 다음과 같이 정의 된다.

\( P(A \cup B) = P(A | B) * P(B) \)

이는 B가 발생할 확률과 B 발생 시 A 발생 확률을 곱하는 것이니 직관적으로 이해 가능하다.
해당 공식은 상호 독립 적인 A, B에서도 적용이 가능하다.

A와 B가 상호 독립 적일 때 P(A | B) = P(A)이기 때문이다.