확률 변수, 확률 분포, 표본 분포

확률 변수

확률 변수란 특정 사건에서 발생할 수 있는 이벤트 값과, 각 이벤트 값의 확률을 나타내느 실수 함수이다.

예시) 동전을 2번 연속으로 던질 때 앞면이 몇번 나올지에 대한 확률 변수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

\( X = \{ 0, 1, 2 \} \)

 

이러한 확률 변수는 특정 이벤트의 확률을 정확히 알 수 있는가를 기준으로 이산 확률 변수, 연속 확률 변수로 나뉜다.

 

이산 확률 변수

확률 변수의 값이 유한하기 때문에 셀 수 있는 확률 변수이다.

확률 변수에 대한 확률이 1대1로 대응하기 때문에, 표 형태로 정리할 수 있다.

이산 확률 변수에 사용 되는 함수는 확률 질량 함수 (Probability Mass Function, PMF)라 칭한다.

연속 확률 변수

확률 변수의 값이 무한하여 셀 수 없다. 보통 확률 변수의 값이 소수이다.

특정 값에 대한 확률은 0이고, 구간으로 표현해야 한다.

연속 확률 변수는 확률 밀도 함수 (Probability Density Function, PDF)로 표현 된다.

실제 구간에 대한 확률 값을 구하기 위해서는 PDF를 적분한 CDF (Cumulative Density Function) 을 사용해야 한다.

확률 변수가 키일 경우, 같은 170cm도 실질적으로는 170.00000001 일수도, 170.4141388 일 수 도 있다.

그렇기 때문에 169 < 171 같이 구간의 형태로 표현해야 한다.

확률 분포

확률 변수의 값, 확률을 대응시킨 함수이다.

확률 변수와 마찬가지로 이산 확률 분포, 연속 확률 분포로 나뉜다.

이산 확률 분포는 베르누이 분포, 이항 분포, 포아송 분포 등이 있고, 연속 확률 분포는 정규 분포, t 분포 등이 있다.

표본 분포

모집단 전체가 아닌 무작위로 표본을 뽑았을 때, 그 표본 통계의 확률 분포이다.

모집단 전체를 측정하는 것을 현실적으로 어렵기 때문에, 보통 표본 데이터를 기반으로 표본 분포를 모델링하고, 이를 통해 모집단을 추정하게 된다.